已知a>0,b>0.求证(a^2/b)^1/2+(b^2/a)^1/2≥a^1/2+b^1/2
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利用基本不等式x+y>=2(xy)^(1/2) 有
(a^2/b)^(1/2)+b^(1/2)>=2a^(1/2)
(b^2/a)^(1/2)+a^(1/2)>=2b^(1/2)
相加可得
(a^2/b)^(1/2)+(b^2/a)^(1/2)+a^(1/2)+b^(1/2)>=2[a^(1/2)+b^(1/2)]
所以(a^2/b)^(1/2)+(b^2/a)^(1/2)>=a^(1/2)+b^(1/2)
(a^2/b)^(1/2)+b^(1/2)>=2a^(1/2)
(b^2/a)^(1/2)+a^(1/2)>=2b^(1/2)
相加可得
(a^2/b)^(1/2)+(b^2/a)^(1/2)+a^(1/2)+b^(1/2)>=2[a^(1/2)+b^(1/2)]
所以(a^2/b)^(1/2)+(b^2/a)^(1/2)>=a^(1/2)+b^(1/2)
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