Question

已知函数f(x)=x^2+2x+alnx(a∈R),

已知函数F(x)=x^2+2x+alnx(a€R)
1.当a=-4，求F(x)的最小值
2.若F(x)在区间(0.1)上单调函数，求a的取值范围。
3.当t>=1,不等式f（2t-1）>=2f（t）-3恒成立，求实数a的取值范围

Answer 1

1、∵x>0
f′(x)=2x+2-4/x
令f′（x)=0，解得X=1，x=-2(舍去）。
∴在（0，1]时，f′（x)<0.在[1,+∝]时，f′（x)>0
所以函数在（0，1]递减，在[1,+∞）递增。所以在x=1取到最小值3.
2、当a=0时，F(x)=x²+2x，开口向上，对称轴X=-1，所以在（0，1）单调曾函数，所以a=0，满足条件。
对函数F(x)求导
F′（x)=2x+2+a/x=(2x²+2x+a)/x
令F′（x)=0，得X=[-2+√(4-8a)]/4,另一个舍去。
i：若函数F(X)在（0，1）为曾函数，则F′（x)>0恒成立。即(2x²+2x+a)/x>0
∵x>0，.∴2x²+2x+a>0，令函数T（x)=2x²+2x+a，此函数对称轴X=-1，∵T（x）>0
∴有Δ<0，T(0)>0,T(1)>0，解得a>1/2,a>0,a>-4，综合得a>1/2
或有Δ≥0，T(0)>0,T(1)>0,[-2+√(4-8a)]/4<0，综合解得0<a≤1/2
综上所述a≥0
ii:若函数在（0，1）为减函数，则F′（x)<0恒成立。即(2x²+2x+a)/x<0
∵x>0,同理T（x）=2x²+2x+a<0恒成立，
∴Δ>0,T(0)<0,T(1)<0,[-2+√(4-8a)]/4>1,综合解得a<-4或a>1/2
综上所述a<-4或a>1/2
3、f（2t-1）>=2f（t）-3，代入化简得2t²-4t+2+aln[(2t-1)/t²]≥0
令函数g(t）=2t²-4t+2，此函数开口向上，对称轴t=1,且Δ=16-16=0
∴函数在t≥1上，g(t)≥0恒成立。所以只要aln[(2t-1)/t²]≥0恒成立就可以。
∵aln[(2t-1)/t²]≥0，得[(2t-1)/t²]^a≤eº=1
所以[(2t-1)/t²]^a≤[(2t-1)/t²]^0
令函数U（t）=(2t-1)/t²=(2/t)-1/t²
∵U′(t)=-2/t²+2/t³=2t²(1-t)/t^5
∵t≥1,∴1-t≤0，t^5≥1
∵函数U(t)在t≥1为减函数，∴a≥0

Answer 2

1、对F(X)求导，令导数等于零。
所得X代入函数式
导数：f(X)=2x+2-4/x
2x+2-4/x=0, x=-2（舍）,x=1,
当x=1时，F（X）=3
2、求导f（x）=2x+2+a/x
若要使该函数单调则是其在（0，1）上的二阶导数为常数
即：h（x）=2-a/x²=常数， 则a=0

Answer 3

1.f(x)=x^2+2x-4lnx,f'(x)=2x+2-4/x令f'(x)=0得x=1，当x＞1时f'(x)＞0，f(x)单调增，当0＜x＜1时，f'(x)＜0，f(x)单调减，所以f(x)在x=1取得最小值为3
2.第二问不全还是没显示全？
3.f(2t-1)>=2f(t)-3
<----> 2t^2-4t+2+aln(2t-1)=2lnt>=0
2(t-1)^2>+alm(2t-1)-2lnt>=0

设x=t-1, x>=0, 上面不等式等价于
2x^2+aln(2x+1)-2aln(x+1)>=0
ln(2x+1)<=ln(x^2+2x+1)=2ln(x+1)
所以如果a<=0, 上面的不等式显然成立。
所以现在设a>0.
2x^2+aln[(2x+1)/(x^2+2x+1)]>=0
ln[(2x+1)/(x^2+2x+1)]=ln[1-x^2/(x^2+2x+1)]>=-x^2/(x^2+2x+1)].
所以如果2x^2-ax^2/(x^2+2x+1)]>=0, 即2(x+1)^2-a>=0,那么原不等式自然成立。2(x+1)^2-a>=0恒成立对x>=0, 那么a<=2.
如果a>2, 因为当x--->0+时， 极限x^2/ln[1-x^2/(x^2+2x+1)]=-1, 因此对充分小的正数x,2x^2+aln[1-x^2/(x^2+2x+1)]=ax^2*[2/a+ln[1-x^2/(x^2+2x+1)]/x^2]<0.

综上， a<=2.

Answer 4

hehe