Question

已知正数x,y.x+y=1,4/(x+1)+9/(y+2)的最小值

Answer 1

答：
正数x和y满足x+y=1
则：0<x<1，0<y<1
4/(x+1)+9/(y+2)
=4/(x+1)+9/(1-x+2)
=4/(x+1)+9/(3-x)
=(12-4x+9x+9)/(3x-x^2+3-x)
=(5x+21)/(-x^2+2x+3)
=k>2
整理：-kx^2+2kx+3k=5x+21
kx^2+(5-2k)x+21-3k=0
关于x的方程恒有解：
判别式=(5-2k)^2-4k(21-3k)>=0
整理得：16k^2-104k+25>=0
(4k-25)(4k-1)>=0
所以：k<=1/4或者k>=25/4
因为：k>2
所以：k>=25/4
所以：4/(x+1)+9/(y+2)的最小值为25/4

追问

k>2是为什么？

追答

k=4/(x+1)+9/(y+2)

因为：02+3>5>2