Question

已知点P(3,4)是椭圆x²/a²+y²/b²=1（a>b>0)上一点，离心率e=√5/3

已知点P(3,4)是椭圆x²/a²+y²/b²=1（a>b>0)上一点，离心率e=√5/3，F1，F2是椭圆的两个焦点。
（1）求椭圆的标准方程
（2）求△PF1F2的面积

Answer 1

（1）将P点坐标带入方程中，得
9/a²+16/b²=1
化简得16a²+9b²=a²b²（1）
离心率e=√5/3 e=c/a=√5/3
e²=c²/a²=（a²-b²)/a²=5/9
即4a²=9b²（2）
解1.2得a²=45 b²=20
方程为x²/45+y²/20=1
（2）设坐标原点为O,
根据方程C=5 即F1坐标（5,0）F2坐标（-5,0）
点P到O的距离为OP=5
即OP=OF1=OF2
△PF1F2为直角三角形

以F1F2为底边 高为点P的纵坐标
△PF1F2的面积=（F1F2*4）/2=20