Question

已知抛物线y=x2-2x+m与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）（x2＞x1）

已知抛物线y=x2-2x+m与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）（x2＞x1）
（1）若点P（-1，2）在抛物线y=x2-2x+m上，求m的值
（2）若抛物线y=ax2+bx+m与抛物线y=x2-2x+m关于y轴对称，点Q1（-2，q1）Q2（-3，q2）都在抛物线y=ax2+bx+m上，试比较q1，q2的大小
（3）设抛物线y=x2-2x+m的顶点为M，若△AMB是直角三角形，求m的值

Answer 1

(1) 将P的坐标代入抛物线方程，2=1+2+m，m=-1
(2)两抛物线对称，则对称轴也要关于y轴对称，而y=x2-2x+m的对称轴是x=1，所以y=ax2+bx+m的对称轴为x=-1。
又两抛物线关于y轴对称，而y=x2-2x+m开口向上，所以y=ax2+bx+m开口也向上。
所以Q1,Q2在对称轴左边，且Q2在左，所以q2>q1
(3)y=x2-2x+m=(x-1)2+m-1，所以M(1,m-1)
令y=x2-2x+m=0，则x=2加减根号(4-4m)/2=1加减根号(1-m)，所以AB长为2根号(1-m)
若AMB是直角三角形，则M到AB的距离为AB的一半，所以1-m=根号(1-m)
得到m=0或1。
或m=1，则M，A，B退化为一点，不符合题意。
所以m=0

Answer 2

1.m=-1
把P点代入抛物线方程
2.q2>q1
y=x2-2x+m的对称轴是x=1且开口向上。抛物线y=ax2+bx+m与抛物线y=x2-2x+m关于y轴对称，则y=ax2+bx+m的对称轴是x=-1且开口向上。则当x<-1时,y=ax2+bx+m单调递减.则q2>q1
3.
当角AMC是直角时，m=-(根号5)/2.
因为角AMC是直角,所以 m绝对值 =(x2-x1)/2
因为（x2-x1)/2 + x1 = 1
所以x1=1-m 把x1代入y=x2-2x+m中
由于y=x2-2x+m与x轴有两交点，所以b^2-4ac>0 则1>m
则m=-(根号5)/2
当角CAM 角ACM 是直角时，显然都与题目矛盾，所以都舍去
所以综上所知m=-(根号5)/2