Question

把一元兑换成1分、2分、5分的硬币，有几种换法

Answer 1

用1分2分5分硬币凑成1元共有多少种方法？
这是一种直接的解法。基本想法是按1五分硬币的个救将所有凑法分类。
假定五分硬币有20个，则没有二分硬币，因此只有一种凑法。假定五分硬币有19个，币值为5×19=95分，
因此要使总币值不超过1元=100分，所取二分硬币的币值不能超过5分。很明显，二分硬币的个数可以为0个，1个，或2个，这样就有三种不同的凑法。如此继续下去，可以看出不同的凑法共有
1＋3＋6＋8＋11＋13＋……＋48+51
=（1＋48）＋（3＋46）＋（6＋43）＋……＋（23+26）+51
=49×10+51
=541（种）
答：共有541种凑法。
【解法2】这是一种比较巧妙的简便算法。
将
50个二分硬币和20个五分硬币分成甲、乙二组。
因为这些硬币的总币值为
50×2+20×5=200（分）。所以甲、乙二组的币值无非是下面三种情形；
（1）甲组的钱比一元少，乙组的钱比1元多。
（2）甲组的钱比一元多，乙组的钱比1元少。
（3）甲、乙两组的钱相等，都是一元钱。
这里有两点要特别注意：第一，情形（1）与情形（2）是对称的，只不过甲和乙交换了位置。第二，（1）的所有可能性加上（3）的所有可能性就是我们的问题的答案。
那么（1），（3）的个数各有多少呢？
先计算一下上面的分组总共有多少不同的方法。因为二分硬币有50个，所以有51种分法。类似地，五分硬币有20个，所以有21种分法。这样总共就有21×51种不同的分法。
再来看甲，乙两组的钱都是一元这种情形的分法有多少种？很明显，这时五分硬币必须有偶数个（为什么？），所以五分硬币的数可以为0个，2个，……，20个，共有十一种分法。
根据情形（1）和情形（2）的对称性，容易知道（1）的个数为（21×51-11）÷2=530
（1）的个数加上（3）的个数是530+11=541（种）这就是答案。
【分析与讨论】这是一道思考与计算相结合的题。用解法1来做的同学比较多。但大部份同学都没有算对，也许是“数”不清楚吧。学会“数”数是数学原基本的功夫，可不能马虎。提高你的“数”数能力，不妨换个方法试试。