Question

已知抛物线y=x^2+bx+c在点(1,1)处切线与直线y=1/2x+2垂直，求b,c

Answer 1

与直线y=1/2x+2垂直说明切线斜率为-2
设切线为y=-2x+b
代入(1,1)
得切线方程y=-2x+3
切线与抛物线只有一个交点，所以
-2x+3=x^2+bx+c只有一个解
即x^2+(b+2)x+c-3=0只有一个解
根据b^2-4ac=0有
(b+2)^2-4(c-3)=0
又抛物线过（1,1）
所以1=1+b+c
b+c=0
因此有
(b+2)^2-4(-b-3)=0
得b=-4,c=4

Answer 2

因为(1,1)、(2,-1)都在抛物线上，代入得
a+b+c=1...(1)
4a+2b+c=-1..(2)
(1)-(2)得3a+b=2,b=2-3a
(1)x2-(2)得-2a+c=3,c=3+2a
故y=ax²+(2-3a)x+3+2a
与直线y=x-3联立，消y得
ax²+(2-3a)x+3+2a=x-3,整理，
得：ax²+(1-3a)x+3+2a=0
由判别式△=0即可取出a，代会（1）（2）即可求出b,c
我偷懒了，解不出再补充哈