Question

高等数学求极限，求lim[1/e*(1+x)^（1/x）]^(1/x) 【x趋于0】

Answer 1

由于f(x)
=
e^(1/x)-1在x=1处连续，故有连续函数定义知道：f(x)在x=1处的极限就是f(1),
计算可得f(x)
=
0.
如果f(x)
=
e^(1/(1-x))，那么x-->1时，左极限为0，右极限为正无穷。
其实当x趋于1时，1/(1-x)是趋于无穷的(x<1时趋于负无穷，x>1时趋于正无穷)，从而e^(1/(1-x))有两种极限。

Answer 2

lim(x→0)[(1/e)*(1+x)^(1/x)]^(1/x)
=lim(x→0)e^ln{[(1/e)*(1+x)^(1/x)]^(1/x)}
=e^lim(x→0)(-1+ln(1+x)/x)/x
=e^lim(x→0)(-x+ln(1+x))/x^2
[洛必达法则]
=e^lim(x→0)(-1+1/(1+x))/2x
=e^lim(x→0)(-x)/[2x(1+x)]
=e^(-1/2)
lim[（1/e）*(1+x)^（1/x）]^(1/x)=lim[1/(e*e)]^(1/x)
这一步不对
极限的四则运算没有这种计算法