Question

求一道高数题目。。

Answer 1

多元函数微分过程一定注意使用链式法则
我这里就用d表示微分了，不做符号的改变了(花写的d不好找)
dx/dv=-sinθ
dx/du=cosθ
dy/dv=cosθ
dy/du=sinθ
fx=df/dx
fy=df/dy
对g微分的时候，就相当于对复合函数f微分，因为x和y都包含u或者v，就相当于做全微分再链式转化一下了：
gu=dg/du=df/du=df/dx×dx/du+df/dy×dy/du=fxcosθ+fysinθ
gv=dg/dv=df/dv=df/dx×dx/dv+df/dy×dy/dv=-fxsinθ+fycosθ
所以
gu²+gv²=fx²cos²θ+fy²sin²θ+2fxfysinθcosθ+fx²sin²θ+fy²cos²θ-2fxfysinθcosθ=fx²(cos²θ+sin²θ)+fy²(sin²θ+cos²θ)=fx²+fy²
证毕