Question

一道高中数学选择题

已知θ为第二象限角，sinθ+cosθ=根号3/3,则cos2θ=
A-根号5/3 B-根号5/9, C根号5/9, D根号5/3
答案是A，但我觉得选D.
我的思路：将原式平方得1+2sinθcosθ=1/3,则sin2θ=-2/3,接下来确定2θ的范围，因为sin(-2θ)=2/3,所以
根号2/2＞sin-2θ＞1/2,所以2θ的范围是-45°-360k＜2θ＜-30°-360K，或者是315°-360k＜2θ＜330°-360k,k∈Z,那么就可以得到则2θ应该是在第一象限或者是第四象限，那怎么可能会是A?

Answer 1

因为sinα+cosα=√3/3
所以(sinα+cosα)^2=1/3
2sinacosa=1/3-1=-2/3
sinα-cosα>0,
(sinα-cosα)^2=1-2sinacosa=5/3
所以 sinα-cosα=√(5/3)
所以cos2α=-(sinα-cosα))(sinα+cosα)=-√(5/3) * (√3/3)=-(√5)/3

追问

请问我的想法哪里错误？

追答

根号2/2＞sin-2θ＞1/2,所以2θ的范围是-45°-360k＜2θ＜-30°-360K，或210°-360k＜2θ＜225°-360k,k∈Z,那么就可以得到则2θ应该是在第三象限或者是第四象限，所以现在看来cos2θ还是可能为正，也可能为负。你把角的范围算错啦

追问

所以2θ的范围是-45°-360k＜2θ＜-30°-360K，或210°-360k＜2θ＜225°-360k,k∈Z,第二个的范围是怎么算的？

追答

你已经得到1/2<sin-2θ<√2/2,那么30°-360k＜-2θ＜45°-360K或135°-360k＜-2θ＜150°-360K，在不等式两边同时乘以-1，得到-45°-360k＜2θ＜-30°-360K或-150°-360k＜2θ＜-135°-360K（这个就可以化成210°-360k＜2θ＜225°-360k嘛，相当于在-150°和-135°的基础上加了360°）

Answer 2

sinθ+cosθ=根号3/3 （根号多少？）

追问

根号3在分子，3在分母，下同

追答

计算机验证
答案是A

追问

我主要想问的是我的思路为啥错？

追答

打错了
用计算机算的是正的

质疑答案吧

不是高考题的话
答案有可能会出错

追问

那请问一下，这页的另一条回答和答案解析差不多，那么那条错在哪里？

追答

发来看一下

Answer 3

你错在没有考虑-150°到-135°，内个是在第三象限