Question

如图,O为三角形ABC的外心,OE垂直于BC,BC等于2OE，AD为BC边上的高

1，求角BAC的度数

2，将三角形ACD,将AC折叠为三角形ACF，将三角形ABD,将AB折叠为三角形ABG，延长FC和GB相交于点，证明四边形AFHG是正方形
延长FC和GB相交于点H

Answer 1

证明1，：如图，连接BO并延长交⊿ABC的外接圆于P，连接CP。

∵OE⊥BC（已知）

∴BE=CE（垂直于弦的半径，平分这条弦）

∵BO=PO（同圆半径相等）

∴CP=2OE（三角形的中位线等于底边的一半）

∵BC=2OE（已知）

∴CP=BC

∵BP是直径（所做）

∴∠BCP=90°（直径所对的圆周角是直角）

∴⊿BCP是等腰直角三角形

∴∠BPC=45°（等腰直角三角形的锐角等于45度）

∴∠BAC=∠BPC=45°（同弧所对的圆周角相等）

证明2,：由已知得：⊿ACD≌⊿ACF，ABD⊿≌⊿ABG

∵AD⊥BC（已知）

∴∠AFC=∠ADC=90°，∠AGB=∠ADB=90°（全等三角形对应角相等）

∵∠CAF=∠CAD，∠BAG=∠BAD（全等三角形对应角相等）

∴∠CAF+∠BAG=∠CAD+∠BAD（等量公理）

∵∠CAD+∠BAD=∠BAC=45°（证明1）

∴∠FAG=∠CAD+∠BAD+∠CAF+∠BAG=2x45°=90°

∴∠FHG=360°-(∠AFC+∠AGB+∠FAG)=360°-(90°+90°+90°)=90°（四边形内角和等于360度）

∴四边形AFHG是矩形（每个内角都为90度的四边形是矩形）

∴AF=GH，AG=FH（矩形的对边相等）

∵AF=AD，AG=AD（全等三角形的对应边相等）

∴AF=AG（等量公理）

∴AF=GH=AG=FH（等量公理）

∴矩形AFHG是正方形（四边相等的矩形是正方形）

追问

能用初二方法解么

追答

外心：三角形三边垂直平分线的交点
证明1，：如图，连接OA，OB，OC。
∵O是⊿ABC的外心（已知）
∴OA=OB=OC（线段的垂直平分线到线段两端的距离相等）
∴∠OAC=∠OCA=∠1，∠OAB=∠OBA=∠2，∠OBC=∠OCB=∠3（三角形中，等边对等角）
∵OE⊥BC（已知）
∴BE=(1/2)BC（线段的垂直平分线平分该线段）
∵BC=2OE（已知）
∴OE=(1/2)BC=BE（等量公理）
∴⊿OBE是等腰直角三角形（两边相等的直角三角形是等腰直角三角形）
∴∠OBC=∠3=45°（等腰直角三角形的锐角为45度）
∵2(∠1+∠2+∠3)=180°（三角形内角和等于180度）
∴∠BAC=∠1+∠2=180°/2-∠3=45°
证明2：
∵⊿ACD≌⊿ACF，ABD⊿≌⊿ABG ，AD⊥BC（已知）
∴∠CAF=∠CAD，∠AFC=∠ADC=90°，∠BAG=∠BAD，∠AGB=∠ADB=90°（全等三角形对应角相等）
AF=AD=AG（全等三角形的对应边相等）
∵∠CAD+∠BAD=∠BAC=45°（证明1）
∴∠CAF+∠BAG=∠CAD+∠BAD=45°（等量公理）
∴∠FAG=∠CAD+∠BAD+∠CAF+∠BAG=2x45°=90°（等量公理）
∴∠FHG=360°-(∠AFC+∠AGB+∠FAG)=360°-(90°+90°+90°)=90°（四边形内角和等于360度）
∴四边形AFHG是矩形（每个内角都为90度的四边形是矩形）
∴矩形AFHG是正方形（邻边相等的矩形是正方形）