Question

y=x+根号X在区间[0,4]上最大值为多少 ？ 并说明详细步骤和方法

Answer 1

y'=1+(1/2)x^(-1/2),
在区间[0，4]内，y'>0,
故是单调递增，
故x=4时为最大值，
∴y(max)=4+√4=6。

追问

求导之后 那个根号X 也就说是你说的x^(1/2), 一定是大于0的吗？还有那个导数大于0 一定是递增的吗？ 在哪学得？ 不过你说的那个是 x^(-1/2) 也就相当是1/根号X 是大于0吗 为什么 根号X一定是大于0吗？ 为什么

追答

在区间[0，4]内，f'(x)>0,则是单调增，而在x=0处不存在导数，但在0附近右边是大于0，
√x在[0，4]区间内当然是大于0，
一阶导数大于0，则斜率大于0，和X轴夹角是锐角，趋势是上升的。
反之，一阶导数小于0，则斜率小于0，和X轴夹角是钝角，趋势是下降的。
可以把函数看成y=x,y=√x,迭加而成 ，第一条是45度的直线，另一条是半条抛物线，二者都是上升的，所以在x=4处为最大。

追问

而在x=0处不存在导数 这句话是什么意思呢？我知道 导数大于0 就是递增 导数小于0 就是递减 √x在[0,4]上都是大于0吧 应该是√x在全体实数上都是大于0的 所以这个 y'=1+(1/2)x^(-1/2)在[0,4]上是大于0的吧
顺便帮我看看 y=x+√x
y=(√x)^2+√x
=(√x+1)^2-1/4
这个怎么划的 好像后面不是减1/4

追答

（√x)'=(1/2)/√ x,x=0分母为0没有意义，定义域x不能是负数，若没有区间限制就没有最大值问题；后面式子,y=x+√x+1/4-1/4=(√x+1/2)^2-1/4才对。

追问

（√x)'=(1/2)/√ x,x=0分母为0没有意义，定义域x不能是负数，若没有区间限制就没有最大值问题 是什么意思？请说下吧？ （√x)'=(1/2)/√ x,x=0分母为0没有意义 这个应该是这样吧 完整的一个y'=1+(1/2)/√ x 你的意思是不是说 只说那个 X=0的时候分母√ x就没有意义吧 从而导致整个没有 意义 所以 就没有导数？ 为什么等于0没有意义 就没有导数呢？？ 对了 那个√ x的定义域是不是都是大于0 所以它那个√ x的值都是正的

追答

当x=0时，（√x)'=(1/2)/√ x，分母为0，没有意义，当然没有导数，因为由x+√x,根号内不能为负，故定义域不能是负值，x∈[0,+∞），若没有区间限制，则就没有最大值，你最后说的没错。(√x+1/2)^2-1/4配方不能说明问题，只能说明最小值，不能说明最大值。

Answer 2

也可以这样
y=x+√x
x>0
y=(√x)^2+√x
=(√x+1)^2-1/4
0<=x<=4单调递增
x=4最大=6

追问

y=(√x)^2+√x
=(√x+1)^2-1/4
这一步有点问题吧 配方之后不能减1/4

追答

谢谢提醒，确有误算，修正如下：
y=(√x)^2+√x
=(√x+1/2)^2-1/4