Question

设P是椭圆x2/a2 y2/b2=(a>b>0)上的一点，F1,F2是椭圆的左右焦点，且角F1PF2=60度...

设P是椭圆x2/a2 y2/b2=(a>b>0)上的一点，F1,F2是椭圆的左右焦点，且角F1PF2=60度，求椭圆的离心率的取值范围。　急求！！！非常感谢。

Answer 1

有更快捷的解法。等我画图

由对称性，只考虑P在第一象限从A运动到B点，这个时候F1PF2的夹角是递增的，在P=B点时候，角度最大，此时，OPF2=30°  tan30°=c/b=三分之根号三，a=2c ,e=c/a=1/2

题目的取值范围，要求存在一点这一点P,若离心率再小一点这个临界值，即F1.F2向圆心靠近一点，这个时候，夹角就小于60°了，就是，在椭圆上最大的那个夹角，都小于60，不存在这么一点P了。 因此题目要求存在那么一点，就是e=[1/2,1)

Answer 2

P是椭圆x2/a2 y2/b2=(a>b>0)上的一点，
F1,F2是椭圆的左右焦点，
椭圆上顶点B2(0,b),
P在椭圆上，那么0º≤∠F1PF2≤∠F1BF2
∵角F1PF2=60度，
∴∠F1BF2≥60
∠F1BO≥30º
∴∠BF1O≤60º
又BF1=a,OF1=c,∠F1OB=90º
∴e=c/a=cos∠BF1O≥cos60º=1/2
又椭圆离心率0<e<1

该椭圆的离心率的取值范围为[1/2,1)