Question

已知以原点为中心，F(√5,0)为右焦点的双曲线的离心率e=√5/2，

（Ⅰ）求双曲线的标准方程及其渐进线方程。
（Ⅱ）已知过点M(x1,y1)的直线l1:x1x+4y1y=4与过点N(x2,y2)（其中x2≠x）的直线l2:x2x+4y2y=4的交点E在双曲线上，直线MN的两条渐进线分别交于G.H两点，求∆OGH的面积

Answer 1

①设双曲线的标准方程为x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0),
则由题意c=√5,e=c/a=√5/2,
∴a=2,b=√c²-a²=1，
∴双曲线的标准方程为x²/4-y²=1，渐进线方程为y=+-1/2x，
②由题意，设E(xE,yE)在直线l1:x1x+4y1y=4和l2:x2x+4y2y=4上，
∴x1xE+4y1yE=4，x2xE+4y2yE=4，又因为M,N都在xEx+4yEy=4上，一次直线MN的方程为xEx+4yEy=4.
又∵G,H分别是直线MN与渐进线x-2y=0与x+2y=0的交点，
联立方程xEx+4yEy=4，x-2y=0，xEx+4yEy=4，x+2y=0，
解得yG=2/xE+2yE,yH=-2/xE-2yE
设MN与x轴交点为Q，则在直线xEx+4yEy=4中，令y=0则xQ=4/xE，
又∵点E在双曲线上，所以xE²-4yE²=4，
∴S∆OGH=1/2*|OG|yG-yH|=4/|xE|*|1/xE+2yE+1/xE-2yE|=4/|xE|*2|xE|/|xE²-4yE²|=2 希望对你有帮助O(∩_∩)O