Question

梯形ABCD中,AD//BC,∠A=90°,E为AB 的中点,且DE⊥CE，求证：1）ad+bc=cd （2）DE、CE分别平分∠ADC、∠BCD

Answer 1

证明:(1)取CD的中点F,连接EF.
∵E,F分别为AB,CD的中点.
∴AD+BC=2EF.(
三角形中位线
的性质);
又∵∠DEC=90°;F为CD中点.
∴CD=2EF.(
直角三角形
斜边
的中线等斜边的一半)
故:AD+BC=CD.(
等量代换
)
(2)∵EF=CD/2=DF.(已证)
∴∠DEF=∠EDF.(
等边对等角
)
又EF∥AD.(
梯形中位线
的性质)
∴∠DEF=∠ADE.
故:∠EDF=∠ADE(等量代换),即DE平分∠ADC.
同理可证:CE平分∠BCD.

Answer 2

证明：延长DE交CB的延长线于点F
∵AD∥BC
∴∠ADE＝∠F，∠A＝∠FBE
∵E为AB的中点
∴AE＝BE
∴△ADE≌△FBE
（AAS）
∴DE＝FE，BF＝AD
∵DE⊥CE
∴DE垂直平分DF
∴CD＝CF
∵CF＝BF+BC
∴CF＝AD+BC
∴CD＝AD+BC
再看看别人怎么说的。

Answer 3

证明：延长DE交CB的延长线于点F
1、
∵AD∥BC
∴∠ADE＝∠F，∠A＝∠FBE
∵E为AB的中点
∴AE＝BE
∴△ADE≌△FBE
（AAS）
∴DE＝FE，BF＝AD
∵DE⊥CE
∴DE垂直平分DF
∴CD＝CF
∵CF＝BF+BC
∴CF＝AD+BC
∴CD＝AD+BC
2、
∵CD＝CF
∴∠CDE＝∠F
∴∠ADE＝∠CDE
∴DE平分∠ADC
∵DE⊥CE
∴∠FCE＝∠DCE
（三线合一）
∴CE平分∠BCD

Answer 4

证明：延长DE交CB的延长线于点F
∵AD∥BC
∴∠ADE＝∠F，∠A＝∠FBE
∵E为AB的中点
∴AE＝BE
∴△ADE≌△FBE
（AAS）
∴DE＝FE，BF＝AD
∵DE⊥CE
∴DE垂直平分DF
∴CD＝CF
∵CF＝BF+BC
∴CF＝AD+BC
∴CD＝AD+BC