Question

高等代数考研题求问

第一题不正确举个反例啊，谢谢!

Answer 1

一. 对3阶正交阵A, tr(A) = -1是-1是A的特征值的充分条件.
证明只需注意正交阵的特征值都是单位复数(实根只能为±1), 同时虚根成对.
必要性的反例很简单, A = -E即可(tr(A) = -3).

二. 由(g(x),h(x)) = 1, 存在u(x), v(x)使u(x)g(x)+v(x)h(x) = 1.
对任意a ∈ V, 取b = v(A)h(A)a ∈ L1, c = u(A)g(A)a ∈ L2.
有a = b+c, 故V ⊆ L1+L2 ⊆ V, 有V = L1+L2.
进一步还能证明V1+V2是直和.
因为由a ∈ L1∩L2可得a = u(A)g(A)a+v(A)h(A)a = 0, 故L1∩L2 = {0}.

Answer 2

对角线相加为-1很多，A的三个特征值是abc，相加等于-1即可。a=1，b=2，c=-4

追问

拜托是正交阵，特征值的模只能是1好不，我需要一个反例