Question

高一数学：三角函数问题？

已知函数f(x)=|sinx|+|cosx|-4sinxcosx-k，若y=f(x)在区间[π/2，π)上恰好有1个零点，则实数k的值是______

Answer 1

令t=x-pi/2，0<=t<pi/2，则f(t)=sint+cost+4*sintcost-k=\sqrt{2}*sin(t+pi/4)+2*sin(2*t)-k
依题意f(x)=0在定义域只有一解，等价于k=g(t)=\sqrt{2}*sin(t+pi/4)+2*sin(2*t)在定义域内只有一解
当t=pi/4时，sin(t+pi/4)和sin(2*t)同时取最大值，g(pi/4)=2+\sqrt{2}
当t=0或t=pi/2（不可取到）时，sin(t+pi/4)和sin(2*t)同时取最小值, g(0)=1
当0<t<pi/4时，g(t)单调递增；当pi/4<t<pi/2时，g(t)单调递减
所以实数k的值可以是2+\sqrt{2}或1，分别对应的唯一零点为t=pi/4, t=0，即x=3*pi/4, x=pi/2

Answer 2

g(x) = |sinx|+|cosx|-4sinxcosx = |sinx|+|cosx|-2sin2x
在区间[π/2，π)上，g(x)于π/2取得最小值仅一次:g(π/2) = 1。所以，k = 1, y = f(x)在区间[π/2，π)上恰好有1个零点.

Answer 3

f(x)=|sinx|+|cosx|-4sinxcosx-k，在区间[π/2，π)上
=sinx-cosx-4sinxcosx-k
=4[sin(x-π/4)-根2/8]^2-2-k-1/8
x=3π/4时，f(x)最大>=0 x=π/2或π时，f(x)最小=<0
1<=k<=2+根2