Question

请问一下这个极限和 怎么求啊 lim（n→∞）∑（k=1，n） 1/[（n^2+k^2）]^½

Answer 1

用积分定义
原式=lim（n→∞）∑（k=1，n）
1/[（n^2+k^2）]^½
=lim（n→∞）∑（k=1，n）
(1/[n^2(1+(k/n)^2）]^½)
=lim（n→∞）∑（k=1，n）
(1/[1+(k/n)^2]^½)*(1/n)
=∫[0,1]
1/根号(1+x^2)
dx
令x=tan
t,
t∈(-π/2,π/2)
dx=sec^2t
dt
原式=∫[0,1]
sec
t
dt
=ln|sect+tant|+C
|[0,1]
=ln|根号(1+x^2)+x|+C
|[0,1]
代入1得ln|1+根号2|
代入0得ln1=0
所以积分=ln(1+根号2)
lim（n→∞）∑（k=1，n）
1/[（n^2+k^2）]^½=ln(1+根号2)