Question

函数f(x)=ax^4-4ax^2+b(a>0,1<=x<=2)的最大值为3,最小值为-5，则a= b=

①不要网上复制的
②请用导数方法求→我只会算到f‘(x)=3ax^3-8ax

Answer 1

f(x)=ax^4-4ax²+b（a＞0，x∈[1,2]）
则，f'(x)=4ax³-8ax=4ax(x²-2)
当f'(x)=0时有三个实数根±√2，0
当x＞√2时，f'(x)＞0，f(x)单调递增；
当0＜x＜√2时，f'(x)＜0，f(x)单调递减
因为x∈[1,2]
所以：当x∈(√2，2]时f(x)单调递增；当x∈[1,√2)时递减
所以，有最小值f(√2)=-5
===> 4a-8a+b=-4a+b=-5………………………………………………（1）
又，f(1)=a-4a+b=-3a+b；f(2)=16a-16a+b=b
已知a＞0
所以，有最大值b=3………………………………………………………（2）
联立(1)(2)得到：a=2，b=3

Answer 2

f(x)=a(x^2-2)^2+b-4a
1=<x<=2, 所以1=<x^2<=4
x^2=2时，函数取最小值b-4a=-5
x^2=4时, 函数取最大值b=3
解得：a=2, b=3,
希望能解决您的问题。