Question

如图,△ABC是等腰直角三角形,BC=AC,直角顶点C在x轴上,一锐角顶点B在y轴上

(1)如图①，若点C的坐标是（2,0），点A的坐标是（-2，-2），求B点的标
（2）如图②，若y轴恰好平分∠ABC,AC于y轴交于点D，过点A作AE垂直y轴于E，问BD于AE有怎样的数量关系，并说明理由
（3）如图③，直角边BC在两坐标轴上滑动，使点A在第四象限内，过A点作AF垂直y轴于F,在滑动的过程中，猜想OC、AF、OB之间的关系，并证明你的结论
(只做第三题，好的加分！)

Answer 1

解：（1）∵点C坐标是（-1，0），点A的坐标是（-3，1）
∴AD=OC（1分）
在Rt△ADC和Rt△COB中
AD=OCAC=BC
∴Rt△ADC≌Rt△COB（HL）（2分）
∴OB=CD=2（3分）
∴点B的坐标是（0，2）（4分）

（2）猜想：AE=
12BD（5分）
证法一：延长AE交BC的延长线于点F，
∵∠ABE=∠FBE，∠AEB=∠FEB=90°，BE=BE，
∴△ABE≌△FBE（ASA），
得AE=EF=12AF，
证△BCD≌△ACF（ASA）
得AF=BD（7分）
∴AE=
12BD（8分）
证法二：作BD的中垂线交BD于F，AB于点G，连接GD
则GB=GDFD=BF=12BD
∴∠GBD=∠GDF
∵y轴平分∠ABC，且∠ABC=45°
∴∠GBD=∠GDF=22.5°
∵∠AGD=∠GBD+∠GDF
∴∠AGD=45°
∵∠BAC=45°
∴∠AGD=∠BAC
∴DG=AD
∵∠CBD+∠CDB=∠DAE+∠ADE=90°，且∠CDB=∠ADE
∴∠DAE=∠CBD=22.5°
∴∠DAE=∠GDF
在Rt△GDF和Rt△EAD中
∠GDF=∠DAE∠GFD=∠AEDGD=AD
∴Rt△GDF≌Rt△EAD（AAS）∴AE=DF=12BD

(3)(CO-AF)/OB的结果为定值1。
证明:作AN垂直CO于N,则∠CAN+∠ACN=90°;
又∠BCO+∠ACN=90°.故:∠CAN=∠BCO(同角的余角相等);
又∵CA=CB;∠ANC=∠COB=90°.
∴⊿ANC≌⊿COB(AAS),NC=OB.
所以,(CO-AF)/OB=(CO-NO)/OB=NC/OB=1.

Answer 2

求证：oc=AF+oB
解：过c点作垂线交FA延长线于D
∵∠BCA=90 ∴∠BCO=∠ACD
又 BC=AC
∴ΔBCO≌ΔACD
∴ OB=AD 而 OC=FD
∴ OC=FA+AD =FA+OB

Answer 3

38 25 13 ...........................................................................................................