Question

圆锥曲线的一道题。正常的求我会，有没有什么简单的方法，求大佬🙏

Answer 1

(1)自己写,椭圆方程是x²/4+y²/3=1
(2)当然是定值啊,这个结论是必须背下来的好吧.过焦点弦的一端作相应准线的垂线,连接垂足和焦点弦的另一端,那麼这条连线将平分焦准距.甚至於说这个结论直接用平面几何来证明(自己画图),不需要任何方程什麼的,考试的时候直接平面几何写上去.
F是左焦点,l恰好是左准线.先给你证明一个结论:AF*BF/AB=常数
不妨假设A在x轴上方,过F作x轴的垂线,交椭圆於P,Q,P在x轴上方,Q在x轴下方.
过A作l的垂线,垂足为M.过P作l的垂线,垂足为H
则根据椭圆的第二定义,AF=e*AM,PF=e*PH,所以AF-PF=e(AM-PH)
再过A作x轴的垂线,垂足为C.设l和x轴交於E,则AM=CE,PH=FE
所以AF-PF=e(CE-FE)=e*CF
同理可证QF-BF=e*DF
因为△ACF∽△BDF,所以AF/BF=CF/DF=eCF/eDF=(AF-PF)/(QF-BF)
整理得2AF*BF=AF*QF+BF*PF
根据椭圆的对称性,PF=QF=d(是常数b²/a=3/2),所以有AF*BF/(AF+BF)=AF*BF/AB=d/2=常数3/4
进入正题.设BM和x轴交於N,证明N是EF中点就行了.
因为△ABM∽△FBN,所以FN/AM=FB/AB
所以FN=AM*BF/AB=AF/e*BF/AB=AF*BF/eAB=3/2
F(-1,0),E(-4,0),所以EF=3=2FN,所以N是中点,N(-5/2,0)