Question

高中物理`

（二）15。质量为m的物体，放在倾角为30度的斜面上，恰能匀速下滑，台图所示。
（1）在大小为F的水平向右的恒力作用下，沿斜面匀速向上滑行，如图所示。当斜面倾角增大并超过某一值时，不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，试求这一临界角的大小。
（2）保持斜面倾角30度不变，在竖直平面内施加外力，使物体沿斜面向上匀速滑行，求最小的外力大小和方向。
要过程。

Answer 1

（1）因原来物体放在倾角为30度的斜面上，恰能匀速下滑，有
mg*sin30度＝µ*mg*cos30度
得动摩擦因数是　µ＝tan30度＝（根号3）/ 3
设斜面倾角增大到 θ 时，不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行。
这时有　F*cosθ ＜ [mg*sinθ＋µ*(mg*cosθ＋F*sinθ)
F*（cosθ－µ*sinθ）＜ mg*（sinθ＋µ*cosθ）
可见，当　（cosθ－µ*sinθ）＝0　时，不管多大的水平力F，以上不等式一定成立。
即　tanθ＝1 / µ＝1 / tan30度＝根号3
得　θ＝60度
这一临界角的大小是60度。

（2）若保持斜面倾角30度不变，在竖直平面内施加外力，使物体沿斜面向上匀速滑行，物体受重力mg、支持力N（垂直斜面向上）、滑动摩擦力 f（沿斜面向下）、外力F（大小、方向待定），因匀速向上运动，合力为0
设外力F的方向与竖直向上方向夹角是α（偏向右方），0 ＜ α＜150度 ，用正交分解法，
将各力分解在水平和竖直方向
在水平方向有　F*sinα＝N*sin30度＋ f *cos30度
在竖直方向有　F*cosα＋N*cos30度＝mg＋f*sin30度
且　f＝µ*N
得　F*sinα＝N*sin30度＋ µ*N *cos30度
　F*cosα＋N*cos30度＝mg＋µ*N*sin30度
以上二式联立，消去N，得
F*sinα /（F*cosα－mg）＝（sin30度＋µ*cos30度）/（µ*sin30度－cos30度）
将　µ＝tan30度 代入上式　，得
F*sinα /（F*cosα－mg）＝－（根号3）
F＝（根号3）*mg / [ sinα＋(根号3)*cosα ]
引入一个角A，cosA＝1 / 2，sinA＝(根号3) / 2，A＝60度
则　F＝[（根号3）*mg / 2] / sin(α＋60度)
显然，当　α＝30度时，F有最小值，这时F的方向与竖直向上方向的夹角是30度。
F的最小值是　F小＝（根号3）*mg / 2