Question

据定义证明f(x)=x^3+1在R上为单调增函数

Answer 1

x1>x2
f(x1)=x1^3+1
f(x2)=x2^3+1
f(x1)-f(x2)=x1^3-x2^3
=(x1-x2)(x1^2+x1x2+x2^2)
因为
x1^2+x1x2+x2^2>0
x1>x2
所以
f(x1)-f(x2)>0
即
f(x1)>f(x2)
由定义知f(x)=x^3+1在R上为单调增函数。

Answer 2

证明:设x1>x2.
f(x1)-f(x2)=x1^3-x2^3
=(x1-x2)(x1^2+x1x2+x2^2)
=(x1-x2)[(x1+1/2)^2+3/4x2^2]
x1大于x2 (x1-x2)大于0 [(x1+1/2)^2+3/4x2^2]大于0
故有f(x1)>f(x2)
函数f(x)=x^3+1是R上单调增函数

Answer 3

证明：设x1<x2 可得：
f(x2)-f(x1)
=x2^3+1-(x1^3+1)
=x2^3-x1^3
=(x2-x1)(x2^2-x1x2+x1^2)
x2^2+x1^2≥2x1x2 所以：x2^2-x1x2+x1^2>0
x2-x1>0 可得：
(x2-x1)(x2^2-x1x2+x1^2)>0
即：f(x2)>f(x1) 所以f(x)=x^3+1在R上为单调增函数

Answer 4

设x1>x2
则f(x1)=x1^3+1,f(x2)=x2^3+1
f(x1)-f(x2)=x1^3-x2^3=(x1-x2)（x1^2+x1x2+x2^2)
其中x1>x2 则x1-x2>0
f(x1)-f(x2)>0
因此单调增