Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx＋c（a＞0，c＞0）的图像与x轴有两个不同的公共点若f(c)=0且0<x<c时f(x)>0

已知二次函数f（x）=ax²+bx＋c（a＞0，c＞0）的图像与x轴有两个不同的公共点若f(c)=0且0<x<c时f(x)>0时，恒有f（x）＞0.
①解关于x的不等式f（x）＞0
②试求b的取值范围。
③若以二次函数的图像与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为5，求a的取值范围

Answer 1

a>0, 开口向上，
f(c)=0, c为其中一个零点，由韦达定理，另一零点x2：cx2=c/a, 即x2=1/a>0
因为0<x<c时恒有f(x)>0, 因此零点c在另一零点1/a的左边
即c<1/a
1)f(x)>0的解即为x<c 或x>1/a
2)两根和=-b/a=c+1/a, 得：ac=-b-1
delta=b^2-4ac=b^2+4(b+1)=(b+2)^2, 有不同根，则b<>-2
又b=-1-ac<-1,
故b<-1且b<>-2.
3)与x轴的交点为c, 1/a, 与y轴的交点为c
因此面积S=1/2* (1/a-c)*c=5
a=1/(10/c+c)<=1/[2√(10/c*c)]=1/(2√10)
因此a的范围是：（0， 1/(2√10)]
当10/c=c时，即c=√10时，a取最大值1/(2√10)