Question

已知函数f(x)=(x^2-4x+a)/x,1≤x≤5,a∈R.

（1）若a=4,求函数f(x)的最值
（2）若1≤x≤5时,不等式f(x)<0恒成立,求实数a的取值范围
我的答案是
（1）最大值1.8，最小值0
（2）x<-5
是这样吗?
我的过程不清，请发过程来。O(∩_∩)O谢谢了！！！

Answer 1

f(x)=x+a/x -4，f'(x)=1-a/x²
(1)a=4时，f'(x)=1-4/x²，令f‘(x)=0，得x=2 ,(-2舍)
当1≤x<2时，f'(x)<0，f(x)减，当2<x≤5时，f'(x)>0,f(x)增，从而最小值为f(2)=0
(2) x+a/x -4<0，1≤x≤5
a<x(4-x)，1≤x≤5
从而 a<[x(4-x)]min，1≤x≤5
而 g(x)=x(4-x)在[1,5]的最小值为-5
所以 a<-5

Answer 2

1）a=4, f(x)=x+4/x-4>=2√(x*4/x) -4=0
当x=4/x, 即x=2时取等号。
f(1)=1+4-4=1
f(5)=5+4/5-4=9/5
因此在[1.5]上， f(x)的最大值为9/5, 最小值为0.
2）f(x)=x+a/x-4<0
即a<(4-x)x=-x^2+4x=4-(x-2)^2=g(x)
1=<x<=5时，g(x)最大值为g(2)=4, 最小值为g(5)=-5
因此a的取值范围是：[-5,4],

追问

不是a<g(x)吗？那就应该a<g(x)min呀!为什么a的取值范围是：[-5,4]呢?

追答

哦，写错了，是应该a<-5.

Answer 3

1）要求一个函数的最值，要先对它进行求导，将a=4代到函数里，则f(x)=x+4/x-4
则f'(x)=1-4/x^2，当f'(x)=0时，f(x)会取得其最值，1-4/x^2=0，又因为x的范围为1≤x≤5
则当x=2时，f(x)取得最值，又因为f''(x)=8/x^3>0，则fmin=f(2)=2+4/2-4=0
f(1)=1，f(5)=9/5，所以fmax=f(5)=9/5
2）首先求得f'(x)=1-a/x^2，接下来要分三种情况讨论
a）a>0时，当x=a^1/2时，f(x)取得最小值为0，所以a>0时不成立；
b）a=0时，f(x)=x-4，显然不满足当1≤x≤5时不等式f(x)<0恒成立的条件；
c）a<0时，f'(x)=1-a/x^2>0，说明f(x)在1≤x≤5时是单调递增函数，所以当x=5时满足f(5)<0即可满足题目要求，根据f(5)=1+a/5<0可求出a的范围为：a<-5