Question

圆O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC=4√3，D是线段的中点。证明D在圆上

Answer 1

解：
作AP⊥BC于点P
∵AB=4，∠B=30°
∴AP=2，BP=2√3
∵BC =4√3
∴PC=2√3
∴AC=4
∵O是AB的中点，D是BC的中点
∴OD是△ABC的中位线
∴OD=1/2AC=2
即D到O的距离等于圆O的半径
∴D在圆O上

Answer 2

连结AD，作DE垂直AB，垂足为E，BD=2√3
BE=BDcos30°=3，DE=BDsin30°=√3，AE=AB-BE=1。
AD^2=AE^2+DE^2=4，所以，AD^2+BD^2=4+12=16=AB^2。
所以，AD垂直BD，即点D在圆上。

Answer 3

设BC与圆交于点E，连接AE
∵AB为直径
∴<AEB=90°
又∵AB=4,<ABC=30°
∴BE=AB*cos30°=4*√3/2=2√3=1/2BC
即E为BC的中点，与点D重合
所以点D在圆上。

Answer 4

D是BC和圆O的交点，连OD，AD.OD=OB=OA=2，∠B=30°，∴BD=2√2=1/2BC，，即D在圆上。

cos∠B=√3/2∴CAD为直角三角形，AB²+BC²-AC²/2*AB*BC，解得AC=4，∴⊿ABC是等腰三角形，∠CAB=120°,∠DAB=∠CAD=60°,ED⊥AC.