Question

如图所示，在菱形ABCD中，角A=60°，点P.Q分别在边AB,BC上，且AP=BQ

已知AD=3，AP=2，求cos∠BPQ的值（结果保留根号）

Answer 1

解：（1）∵在菱形ABCD中，∠A=60°

∴∠ABC=120°，BD平分∠ABC，△ABD为等边三角形

∴∠DBC =60°，AD=BD

∴∠DBC =∠A

∵AP=BQ

∴△BDQ≌△ADP

（2）过点Q作QE⊥AB交AB延长线与点E（如图）

∵四边形ABCD为菱形

∴AB=AD=3

∵AP=2

∴BP=1，BQ=AP=2

∠CBE=180°－120°=60°

∴BE=1，QE=根号3

∴PE=2，PQ=根号下（2²+（根号3）²=根号7

∴cos∠BPQ=PE/PQ=2/根号7=2·根号7/7

Answer 2

（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，∠ABD=∠CBD=1/2 ∠ABC，AD∥BC，

∵∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，∠ABC=120°，
∴AD=BD，∠CBD=∠A=60°，
∵AP=BQ，
∴△BDQ≌△ADP（SAS）；

（2）解：过点Q作QE⊥AB，交AB的延长线于E，
∵BQ=AP=2，
∵AD∥BC，
∴∠QBE=60°，
∴QE=QB•sin60°=2×根号3/2=根号 3 ，BE=QB•cos60°=2×1/2 =1，

∵AB=AD=3，
∴PB=AB-AP=3-2=1，
∴PE=PB+BE=2，
∴在Rt△PQE中，PQ=根号 PE2+QE2 =根号7 ，∴cos∠BPQ=PE /PQ =2/根7
=2根7/7 ．

Answer 3

∠B=120°，BP=3-2=1，BQ=2，所以PQ²=1+4-1/2*1*2cos120°=11/2
cos∠BPQ=(1+11/2-4)/(2*1*11/2)=5/22