Question

排列组合作为公务员考试必考内容之一，排列组合常用的几个方法的用法是？

Answer 1

排列：从n个不同元素中，任取m个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
　　组合：从n个不同元素种取出m个元素拼成一组，称为从n个不同元素取出m个元素的一个组合。
　　
【例1】从6名男生，5名女生中任选4人参加竞赛，要求男女至少各1名，有多少种不同的选法？

　　A．240 B．310 C．720 D．1080
【解析】此题从正面考虑的话情况比较多，如果采用间接法，男女至少各一人的反面就是分别只选男生或者女生，这样就可以变化成C（11，4）-C（6，4）-C（5，4）=310。

【例2】某单位邀请10位教师中的6位参加一个会议，其中甲，乙两位不能同时参加，则邀请的不同方法有（ ）种。
　　A.84 B.98 C.112 D.140
【解析】按要求：甲、乙不能同时参加分成以下几类：
　　a.甲参加，乙不参加，那么从剩下的8位教师中选出5位，有C（8，5）=56种；
　　b．乙参加，甲不参加，同（a）有56种；
　　c．甲、乙都不参加，那么从剩下的8位教师中选出6位，有C（8，6）=28种。
　　故共有56+56+28=140种。

【例3】从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（ ）
　　（A） 280种 （B）240种 （C）180种 （D）96种
【解析】由于甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，所以翻译工作就是“特殊”位置，因此翻译工作从剩下的四名志愿者中任选一人有C(4,1)=4种不同的 选法，再从其余的5人中任选3人从事导游、导购、保洁三项不同的工作有A(5,3)=60种不同的选法，所以不同的选派方案共有 C(4,1)×A(5,3)=240种，所以选B。

【例4】5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？
　　A．4240 B．4320 C．4450 D．4480
【解析】把3个女生视为一个元素，与5个男生进行排列，共有 A（6，6）=6x5x4x3x2种，然后3个女生内部再进行排列，有A（3，3）=6种，两次是分步完成的，应采用乘法，所以排法共有：A（6，6） ×A（3，3） =4320（种）。

【例5】五人排队甲在乙前面的排法有几种？
　　A．60 B．120 C．150 D．180
【解析】五个人的安排方式有5!=120种，其中包括甲在乙前面和甲在乙后面两种情形（这里没有提到甲乙相邻不相邻，可以不去考虑），题目要求之前甲在乙前面一种情况，所以答案是A(5,5)÷A(2,2)=60种。

【例6】若有甲、乙、丙、丁、戊五个人排队，要求甲和乙两个人必须不站在一起，且甲和乙不能站在两端，则有多少排队方法？
　　A．9 B．12 C．15 D．20
【解析】先排好丙、丁、戊三个人，然后将甲、乙插到丙、丁、戊所形成的两个空中，因为甲、乙不站两端，所以只有两个空可选，方法总数为A（3，3）×A（2，2）=12种。

【例7】将8个完全相同的球放到3个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球，一共有多少种方法？
　　A．21 B．28 C．32 D．48
【解析】解决这道问题只需要将8个球分成三组，然后依次将每一组分别放到一个盒子中即可。因此问题只需要把8个球分成三组即可，于是可以将8个球排成一 排，然后用两个板插到8个球所形成的空里，即可顺利的把8个球分成三组。其中第一个板前面的球放到第一个盒子中，第一个板和第二个板之间的球放到第二个盒 子中，第二个板后面的球放到第三个盒子中去。因为每个盒子至少放一个球，因此两个板不能放在同一个空里且板不能放在两端，于是其放板的方法数是 C（7，2）=21种。
【例8】有多少种方法可以把100表示为(有顺序的)3个自然数之和?( )
　　A.4851 B.1000 C.256 D.10000 　　
【解析】100可以想象为100个1相加的形式，现在我们要把这100个1分成3份，那么就相等于在这100个1内部形成的99个空中，任意插入两个板，这样就把它们分成了三个部分。而从99个空任意选出两个空的选法有：C(99,2)=99×98/2=4851(种);故选A。

Answer 2

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在处理排列组合问题，方法有很多，包括反向考虑法、插空法、捆绑法、隔板法、特殊定位法、归一法等，下面侧重给大家介绍最常用的反向考虑法、插空法、捆绑法、隔板法。

一、 反向考虑法

有些题目所给的特殊条件较多或者较为复杂，如果直接考虑需要分许多类，而它的反面（不满足题意）却往往只有一种或者两种情况，此时我们先求出反面的情况，然后将总情况数减去反面情况数就可以了。

【例1】甲、乙两个科室各有4名职员，且都是男女各半。现从两个科室中选出4人参加培训， 要求女职员比重不得低于一半，且每个科室至少选一人。问有多少种不同的选法？

A. 67 B. 63 C. 53 D. 51

【答案】D

二、 插空法

1、在排列问题中，如果题中要求两个或多个元素“不相邻”时，可先将其余无限制的n个元素进行排列，再将不相邻的元素插入无限制元素之间及两端所形成的（n+1）个“空”中。

2、在排列问题中，如果题中要求原来的元素”保持原有的相对顺序“时，再增加元素，也是可以采用插空法。

【例题】一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添加进去2个新节目，有多少种安排方法？（ ）

A. 20 B. 12 C. 6 D. 4

【答案】A

三、 捆绑法

在排列问题中，如果题中要求两个或多个元素“相邻”时，可将这几个元素捆绑在一起，作为一个整体进行考虑。

【例3】某市举办经济建设成就展，计划在六月上旬组织5个单位参观，其中一个单位由于人数较多，需要连续参观2天，其他4个单位只需要参观1天，若每天只能安排一个单位参观，则参观的时间安排有多少种？ ( )

A.630 B.700 C.15120 D.16800

【答案】C

四、 隔板法

如果题中要求将n个相同元素分成m组，且每组“至少一个”元素时，可用m-1块板插入n个元素之间形成的n-1个间隔中，将元素分隔成m组，此时有种情况。

【例4】某单位订阅了30份学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放9份材料。问一共有多少种不同的发放方法？

A. 12 B. 10 C. 9 D.7

【答案】B
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Answer 3

一、排列组合问题常用方法
1、捆绑法：如果题目有相邻要求， 需要先将要求在一起的部分视为一个整体，再与其他元素一起进行排列。
2、插空法：如果题目有不相邻要求，则需要先排列其他主体，然后把不能在一起的元素插空到已经排列好的元素中间。
3、优限法： 如果题目有绝对限制要求，则需要先优先排列，再考虑其他的。
4、间接法： 如果题目有至少字眼，可以考虑反面计算更简单。