Question

已知a分之一加b分之一加c分之一等于二分之一，a+b+c=2. 求证：a、b、c中至少有一个等于2。

Answer 1

证明：由a+b+c=2可得c=-(a+b）
代入1/a+1/b+1/c=1/2得到1/a+1/b=1/2-1/c 即：（a+b)/ab=(a+b)/2[(a+b)-2]
因为a,b,c都不为0，所以ab=2[(a+b)-2]，变形得到（a-2）*（b-2)=0
所以a,b中至少有一个为2
证毕

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解：由已知去分母得：
2(ab+bc+ca)=abc
所以：
(a-2)(b-2)(c-2)
=(ab-2a-2b+4)(c-2)
=c(ab-2a-2b+4)-2(ab-2a-2b+4)
=abc-2ca-2bc+4c-2ab+4a+4b-8
=abc-2(ca+bc+ab)+4(a+b+c)-8
=abc-abc+8-8
=0
由于(a-2)、(b-2)、(c-2)的乘积为0
所以三者之中至少有一个为0，也就是说，三者之中至少有一个等于2
参考资料：http://zhidao.baidu.com/question/24896846.html?fr=qrl