Question

如图,将正方形纸片ABCD折叠,使点B落在CD边上一点E(不与点C,D重合),压平后得到折痕MN.

(1)如果AB=8且CE/CD=1/2,求BN,AM的长。
（2）若CE/CD=1/3，则AM/BN的值为____.
(3)若CE/CD=1/N,则AM/BN的值为____.

Answer 1

解答：
1、AB=8，由CE／CD=1／2，∴CE=4，即E是DC中点，
设BN=x，则CN=8－x，由对称性得：NB=NE=x，
在直角△ENC中，由勾股定理得：
4²＋﹙8－x﹚²=x²，解得：x=5，
设AD与FE相交于G点，由对称性得：
∠GEN=∠B=90°，FE=AB=8，
∴∠DEG＋∠CEN=90°，
∴易得：∠DEG=∠CNE，∴△DEG∽△CNE，
∴DE∶CN=DG∶CE，
∴4∶3=DG∶4，∴DG=16／3，
∴AG=8－16／3=8／3，
∴FG=8－20／3=4／3，
∴由勾股定理得：EG=20／3，
∴设AM=y，则MG=8／3－y，在直角△FMG中，
由勾股定理得：y²＋﹙4／3﹚²=﹙8／3－y﹚²，
解得：y=1，即AM=1。
2、由CE／CD=1／3，可以设CE=1，则DC=3，DE=2，
设BN=x，则CN=3－x，NE=x，
在直角△ENC中，由勾股定理得：
﹙3－x﹚²＋1²=x²，解得：x=5／3，即BN=5／3，
同理：由相似性得：DG／2=1／3，∴DG=2／3，
∴AG=3－2／3=7／3，
∴GE=2√10／3，∴FG=3－2√10／3，
设AM=y，则MG=7／3－y，
∴y²＋﹙3－2√10／3﹚²=﹙7／3－y﹚²，
解得：y=﹙6√10－12﹚／7，
∴AM／BN=﹙6√10－12／7﹚／﹙5／3﹚
=﹙18√10－36／7﹚∶5。
3、设CE=1，则DC=n，∴DE=n－1，
设BN=x，则NC=n－x，NE=x，由勾股定理得：
1²＋﹙n－x﹚²=x²，
解得：x=﹙n²＋1﹚／﹙2n﹚，
由相似性得：DG=2n／﹙n＋1﹚，
∴AG=n－2n／﹙n＋1﹚=﹙n²－n﹚／﹙n＋1﹚，∴后面方法相同。你自己能完成了。

Answer 2

1、连结BE，则MN是BE的垂直平分线，
BN=NE，
设BN=x,
CE/CD=1/2,
CD=AB=8,
CE=4,
在RT△NCE中，
（8-x)^2+4^2=x^2,
x=5,
∴BN=5,
设AM=x,
BM=EM,
AB^2+AM^2=MD^2+DE^2,
DE=4,
MD=8-x,
8^2+x^2=(8-x)^2+4^2,
x=1,
∴AM=1，
2、CE/CD=1/3，
CE=8/3，
同前理，
BN=40/9，
AM=16/9，
∴AM/CN=2/5。
3、同上理，x^2=(8-x)^2+(8/n)^2,
x=4(1+1/n^2),
BN=4(1+1/n^2),
8^2+x^2=(8-x)^2+64(n-1)^2/n^2,
x=4(n-1)^2/n^2,
∴AM/AN=(n-1)^2/(n^2+1).

Answer 3

如图（1），将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D重合），压平后得到折痕MN．当
CE
CD
=

1
2
时，求

AM
BN
的值．

类比归纳：
在图（1）中，若

CE
CD
=

1
3
，则

AM
BN
的值等于
25
25
；若

CE
CD
=

1
4
，则

AM
BN
的值等于
917
917
；若

CE
CD
=

1
n
（n为整数），则

AM
BN
的值等于
(n-1)2n2+1
(n-1)2n2+1
．（用含n的式子表示）

联系拓广：
如图（2），将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D重合），压平后得到折痕MN，设

AB
BC
=

1
m
(m＞1)，

CE
CD
=

1
n
，则

AM
BN
的值等于
n2m2-2n+1n2m2+1
n2m2-2n+1n2m2+1．（用含m，n的式子表示）

Answer 4

1、AB=8，由CE／CD=1／2，∴CE=4，即E是DC中点，
设BN=x，则CN=8－x，由对称性得：NB=NE=x，
在直角△ENC中，由勾股定理得：
4²＋﹙8－x﹚²=x²，解得：x=5，
设AD与FE相交于G点，由对称性得：
∠GEN=∠B=90°，FE=AB=8，
∴∠DEG＋∠CEN=90°，
∴易得：∠DEG=∠CNE，∴△DEG∽△CNE，
∴DE∶CN=DG∶CE，
∴4∶3=DG∶4，∴DG=16／3，
∴AG=8－16／3=8／3，
∴FG=8－20／3=4／3，
∴由勾股定理得：EG=20／3，
∴设AM=y，则MG=8／3－y，在直角△FMG中，
由勾股定理得：y²＋﹙4／3﹚²=﹙8／3－y﹚²，
解得：y=1，即AM=1。
2、由CE／CD=1／3，可以设CE=1，则DC=3，DE=2，
设BN=x，则CN=3－x，NE=x，
在直角△ENC中，由勾股定理得：
﹙3－x﹚²＋1²=x²，解得：x=5／3，即BN=5／3，
同理：由相似性得：DG／2=1／3，∴DG=2／3，
∴AG=3－2／3=7／3，
∴GE=2√10／3，∴FG=3－2√10／3，
设AM=y，则MG=7／3－y，
∴y²＋﹙3－2√10／3﹚²=﹙7／3－y﹚²，
解得：y=﹙6√10－12﹚／7，
∴AM／BN=﹙6√10－12／7﹚／﹙5／3﹚
=﹙18√10－36／7﹚∶5。
3、设CE=1，则DC=n，∴DE=n－1，
设BN=x，则NC=n－x，NE=x，由勾股定理得：
1²＋﹙n－x﹚²=x²，
解得：x=﹙n²＋1﹚／﹙2n﹚，
由相似性得：DG=2n／﹙n＋1﹚，
∴AG=n－2n／﹙n＋1﹚=﹙n²－n﹚／﹙n＋1﹚，∴后面方法相同。

Answer 5

解答：
1、AB=8，由CE／CD=1／2，∴CE=4，即E是DC中点，
设BN=x，则CN=8－x，由对称性得：NB=NE=x，
在直角△ENC中，由勾股定理得：
4²＋﹙8－x﹚²=x²，解得：x=5，
设AD与FE相交于G点，由对称性得：
∠GEN=∠B=90°，FE=AB=8，
∴∠DEG＋∠CEN=90°，
∴易得：∠DEG=∠CNE，∴△DEG∽△CNE，
∴DE∶CN=DG∶CE，
∴4∶3=DG∶4，∴DG=16／3，
∴AG=8－16／3=8／3，
∴FG=8－20／3=4／3，
∴由勾股定理得：EG=20／3，
∴设AM=y，则MG=8／3－y，在直角△FMG中，
由勾股定理得：y²＋﹙4／3﹚²=﹙8／3－y﹚²，
解得：y=1，即AM=1。
2、由CE／CD=1／3，可以设CE=1，则DC=3，DE=2，
设BN=x，则CN=3－x，NE=x，
在直角△ENC中，由勾股定理得：
﹙3－x﹚²＋1²=x²，解得：x=5／3，即BN=5／3，
同理：由相似性得：DG／2=1／3，∴DG=2／3，
∴AG=3－2／3=7／3，
∴GE=2√10／3，∴FG=3－2√10／3，
设AM=y，则MG=7／3－y，
∴y²＋﹙3－2√10／3﹚²=﹙7／3－y﹚²，
解得：y=﹙6√10－12﹚／7，
∴AM／BN=﹙6√10－12／7﹚／﹙5／3﹚
=﹙18√10－36／7﹚∶5。
3、设CE=1，则DC=n，∴DE=n－1，
设BN=x，则NC=n－x，NE=x，由勾股定理得：
1²＋﹙n－x﹚²=x²，
解得：x=﹙n²＋1﹚／﹙2n﹚，
由相似性得：DG=2n／﹙n＋1﹚，
∴AG=n－2n／﹙n＋1﹚=﹙n²－n﹚／﹙n＋1﹚