Question

求极限：lim (x→0) [tan( π/4 - x )]^(cotx)=?

求详细解答

Answer 1

解：lim (x→0) [tan( π/4 - x )]^(cotx)= lim(x→0){e^[cotx*ln(tan(π/4-x))]}
只需要求lim(x→0)[cotx*ln(tan(π/4-x))]；

lim(x→0)[cotx*ln(tan(π/4-x))]
=lim(x→0)[ln(tan(π/4-x))/tanx]
=lim(x→0)[(tan(π/4-x)-1)/x] （这步是因为 tanx∽x (x→0)；）
（同时因为ln(x+1)∽x (x→0)； 所以ln(tan(π/4-x))∽tan(π/4-x)-1 (x→0) )
=lim(x→0){[sin(π/4-x)-cos(π/4-x)]/[xcosn(π/4-x)]} (这步把tan拆分成sin/cos)
=lim(x→0){√2[sin(π/4-x)-cos(π/4-x)]/x} （ 这步是因为cos(π/4-x)=1/√2 (x→0)）
=lim(x→0)[2*(-sinx)/x]
（(√2/2)sin(π/4-x)-(√2/2)cos(π/4-x)=[sin(π/4-x-π/4)=-sinx）
=-2 （这步是因为 sinx∽x (x→0)；）

所以所求极限等于 lim (x→0) [tan( π/4 - x )]^(cotx)= lim(x→0){e^[cotx*ln(tan(π/4-x))]}=e^(-2)

追问

同学。你复制粘贴过来的吧？

=lim(x→0){√2[sin(π/4-x)-cos(π/4-x)]/x} （ 这步是因为cos(π/4-x)=1/√2 (x→0)）
=lim(x→0)[2*(-sinx)/x]

这一步我没太明白：如果cos(π/4-x)=1/√2 (x→0)，那sin(π/4-x)为何不化？？
如果你能解释我就把分给你

Answer 2