Question

已知向量a=(sinωx,cosωx),

已知向量a=(sinωx,cosωx), b=(cosφ,sinφ),函数f(x)=a*b(ω>0,π/3<φ<π)的最小正周期为2π，其图像经过点M（π/6, √3/2）
1、求函数f(x)的解析式
2、已知α，β∈（0，π/2），且f(α)=3/5, f(β)=12/13,求f(2α-β)的值。

Answer 1

解：（1）已知向量a=(sinωx,cosωx), b=(cosφ,sinφ),函数f(x)=a*b，则：
f(x)=sin(ωx)cosφ+cos(ωx)sinφ=sin(ωx+φ)
又函数f(x)的最小正周期为2π，则有2π/ω=2π，即得：ω=1
则函数f(x)=sin(x+φ)
又函数图像经过点M（π/6, √3/2），将点M坐标代入函数f(x)的解析式可得：
sin(π/6 +φ)=√3/2 （*）
因为：π/3<φ<π，则：π/2<π/6 +φ<7π/6
所以解（*）式可得：
π/6 +φ=2π/3
则解得：φ=π/2
所以函数f(x)的解析式为：
f(x)=sin(x+π/2)=cosx

（2）已知α，β∈（0，π/2），且f(α)=3/5, f(β)=12/13，
即有：cosα=3/5,cosβ=12/13
且有sinα>0，sinβ>0
又由同角三角函数的基本关系式：sin²α+cos²α=1
易得：sinα=4/5，sinβ=5/13
则cos2α=2cos²α-1=-7/25，sin2α=2sinαcosα=24/25
所以：f(2α-β)
=cos(2α-β)
=cos2αcosβ+sin2αsinβ
=(-7/25)*(12/13)+(24/25)*(5/13)
=(-84+120)/325
=36/325