Question

已知正四棱锥的底面边长为a，侧棱长为根号2a，求在它的内切球的表面积

Answer 1

可以求得四棱锥的高为√6a/2，斜高为√7a/2，一个侧面的面积为√7a²/4，底面积为a²
设内切球半径为r，则
1/3a²*√6a/2=1/3*r*√7a²/4*4+1/3*r*a² √6a/2=(√7+1)r r=(√6a)/(2√7+2)
球的表面积=4πr^2=4π*(6a²)/(2√7+2)²=(4-√7)πa²/3

追问

1/3a²*√6a/2=1/3*r*√7a²/4*4+1/3*r*a² 解释一下这一步吧 我的空间想象有点差...

追答

内切球与各面都相切，那么球心与切点的这条半径垂直于面，它可以看做以球心为顶点，被垂直的面为底面的一个棱锥，共有5个面，所以可以得到5个棱锥（4个三棱锥，1个四棱锥），体积之和就是原来四棱锥的体积

Answer 2

首先这个是有公式的~
你可以这样来记，过正四棱锥的一个侧棱和其对面三角形中线所在平面做剖面，其内切圆对应的就是内切球。

就这个题来说，可以算出内切球的半径不太好算= =你用解析的办法建坐标系吧实在不行的话

追问

怎么建系?

Answer 3

先算出体积
V，再算出各个面的面积的和S，再用体积除以面积，可得出内切球半径，再计算其表面积