Question

高一数学几何题

如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，E为侧棱PD的中点。当AD=AB时，求二面角E—AC—D的正切。

Answer 1

侧面PAD是正三角形，设AD的中点为H，则PH⊥AB，从而 PH⊥底面ABCD
设 DH的中点为F，则EF//PH，所以EF⊥底面ABCD，在底面内作FG⊥AC于G，连EG，
则FG是EG在底面的射影，由三垂线定理，得 EG⊥AC，
从而∠EGF就是二面角E—AC—D的平面角。
设底面边长为1，易求得EF=(1/2)PH=√3/4，
FG=(√2/2)AF=3√2/8
从而 tan∠EGF=EF/FG=√6/3