Question

定积分求摆线问题

Answer 1

首先求该摆线的弧微分：
ds=√(x'^2+y'^2)
dt=√(a^2*(1-cost)^2+a^2*(sint)^2)
dt=a√(1-2cost+(cost)^2+(sint)^2)
dt
=a√(2-2cost)
dt=2a*sin(t/2)
dt
则摆线一拱的弧长为：[0,2π]
表示下限和上限，0下限，2π上限
s=∫
[0,
2π]
2a*sin(t/2)
dt=-4acos(t/2)
[0,2π]
=8a
因此若将其长度分为1：3，也就是2a与6a，设2a处对应的t值为t1，
则
2a=∫
[0,
t1]
2a*sin(t/2)
dt，即
1=∫
[0,
t1]
sin(t/2)
dt，即
1=-2cos(t/2)
[0,
t1]
得
1=
2-2cos(t1/2)，解得：cos(t1/2)=1/2，则
t1/2=π/3，因此
t1=2π/3
代入x,y的关系式，可解得x=a(2π/3-√3/2)，y=a(1-(-1/2))=3a/2