Question

已知f(x)=-log以1/2为底(x^2-ax+3a)在区间[2,正无穷)上为增函数，则函数a的取值范

已知f(x)=-log以1/2为底(x^2-ax+3a)在区间[2,正无穷)上为增函数，则实数a的取值范围为？

Answer 1

解：f（x）=-log（1/2）（x^2-ax+3a）在区间[2，+∞）上为增函数
等价于g（x）=log（1/2）（x^2-ax+3a）在区间[2，+∞）上为减函数
定义域：t=x^2-ax+3a＞0
又∵底数½＜1，所以g（x）为减函数
复合一下，t=x^2-ax+3a g（x）=log（1/2）（x^2-ax+3a）
g（t）=log（1/2）t
只需找到t的增区间即解决问题，再与定义域求交集。
易得增区间为[a/2， +∞）
在区间[2，+∞）为增函数，意味着a/2≤2
∵ x^2-ax+3a开口向上，其定义域为恒正，只需△＜0
a≤4且0＜a＜12得a∈（0,4]

Answer 2

令g(t)=-log1/2 t
t(x)=x^2-ax+3a
要使f(x)为增函数 则需满足 g(x)与t(x)同增同减 且 t(x)>0
又g(t)在0<t上是增函数 t(x)在(-∞,a/2)上是减函数 在[a/2，+∞）上是增函数 且 a^2-12a<0
∴a/2≤2 且a^2-12a<0解得：0<a≤4
所以a的取值范围为（0,4]

Answer 3

令p(x)=(x^2-ax+3a)
要使f(x)是增函数，则p(x)>0，且p(x)在[2,正无穷)为增函数。
p(x)可以写为：p(x)={x-[0.5a+0.5sqrt(a^2-12a)}*{x-[0.5a-0.5sqrt(a^2-12a)}
条件1：
x>0.5[a+sqrt(a^2-12a)],
x>0.5[a-0.5sqrt(a^2-12a)],
a(a-12)>=0(即a<=0或a>=12)
条件2：
x<0.5[a+sqrt(a^2-12a)],
x<0.5[a-0.5sqrt(a^2-12a)],
a(a-12)>=0(即a<=0或a>=12)
综合以上条件，得到a的取值范围为：
a<=0或a>=12，
同时应满足x>0.5[a+sqrt(a^2-12a)]或x<0.5[a-sqrt(a^2-12a)] 且x>=2
经过整理，a的取值范围为(-4,4]