Question

已知:如图,在三角形ABC中,角C=90°,点D,P分别在边AC,AB上,且BD=AD,PE⊥BD,PF⊥AD.当角A=30°，

Answer 1

证明：两题一次性证明，即证明过程没有用条件角a=30度。
连接pd
因为pf⊥ad，故△apd的面积s1＝1/2ad•pf
因为pe⊥bd，故△pdb的面积s2＝1/2bd•pe
因为∠c=90度，故△adb的面积s3＝1/2ad•bc
又△adb的面积s3＝△apd的面积s1＋△pdb的面积s2，故1/2ad•pf＋1/2bd•pe＝1/2ad•bc
又bd=ad，同时除以1/2ad，得：pe+pf=bc

Answer 2

(1)可利用在
直角三角形
中30°的角所对的直角边等于斜边的一半
∠A=30°
PF⊥AD
可证得PF=AD/2
AD=BD
可知∠PBE=30°
PE⊥BD
可证得PE=BP/2
所以PE+PF=AD/2+BP/2=AB/2=BC
(2)当∠A≠30°时结论依然成立，过点P作PG⊥BC交BC于点G
可知PE=CG
由AD=BD可知∠A=∠PBD
由PG⊥BC
和AC⊥BC
可知AC∥PG
所以∠A=∠BPG
所以∠PBD
=∠BPG
所以△BPF≌△PBG
所以PF=BG
所以PE+PF=CG+BG=BC