Question

已知p、q为质数且关于x的二元一次方程x^2-(8p-10q)x+5pq=0至少有一个正整数根，求所有质数对（p,q）

Answer 1

设x1为一正整数根
x1+x2=8p-10q必然为整数，因此x2也为整数
x1x2=5pq>0,因此x2也为正整数
8p-10q>0
p>1.25q
因此x1为5pq的一个因子，又p,q为质数，因此x1=1,5,p,q,5p,5q,pq,5pq,对应x2=5pq,pq,5q,5p,q,p,5,1,一一验证求解即可（当然由于x1,x2对称性，只需验证一半即可），
x1=1,x2=5pq,1+5pq=8p-10q
8p-1=5(p+2)q,q=(8p-1)/5(p+2)>=2,8p-1>=10P+4,舍
x1=p,x2=5q,p+5q=8p-10q,7p=15q,没有质数解（15为合数）
x1=q,x2=5p,5p+q=8p-10q,3p=11q,p=11,q=3
x1=5,x2=pq,pq+5=8p-10q,(8-q)p=5+10q>=0且被5整除，因此,q<8,1）8-q=5，q=3,p=7
2）p=5,40-5q=5+10q,无解
综上(p,q)=(11,3),(7,3)

Answer 2

设方程两个根为x1,x2,其中x1是正整数，根据根与系数的关系有：
x1+x2=8p-10q
x1*x2=5pq
x1+x2=8p-10q是整数，所以x2也是整数，x1*x2=5pq是正整数且x1是正整数，所以x2也是正整数。并且由于x1+x2是偶数，所以x1,x2奇偶性相同，如果二者都是偶数，p*q是4的倍数，只有p=q=2.这时x1+x2=8*2-10*2=-4<0，此为不可能。
所以x1,x2均为奇数,p,q亦均为奇数。
由以上讨论及x1*x2=5pq可推出：
x1=1,x2=5pq
x1=5,x2=pq
x1=p,x2=5q
x1=q,x2=5p
或者二者值交换。
分别代入x1+x2=8p-10q
可求出所有的(p,q)数对为：
(7,3),(11,3).