Question

微分和导数是什么关系

微分的定义是Δy=AΔx+o（Δx）取其中主部AΔx，又有定义dy=f（x）dx；那么应该有AΔx=f（x）dx，求证是不是

Answer 1

这两者是不同的，粗略来看很多人会认为这两者是一样的，但是其数学含义是不同的，而且严格说两者不是相等的关系。
从数学符号的意义上来说，dy与Δy是不同的，dx与Δx也是不同的。一般地，Δ~代表做“差（分）”运算之后的结果，是一个具体精确的表达。而d~代表做“微分”运算后的结果，里面包含有取某种极限之后的结果，是更抽象的表达。差分仅仅是直观的减法运算，而微分则包含有更为深刻的极限思想在里面。甚至也可以把微分认为是差分的极限。
我们定义函数y=F(x)
Δy=AΔx+o（Δx）来自于差分表达式：Δy=y1-y0=F(x1)-F(x0)，其中x1-x0=Δx.
右边F(x1)-F(x0)相当于做了一个一阶展开（如果你学过taylor展开，可以联系起来考虑），得到线性部分AΔx和残差项o（Δx），o（Δx）指的是Δx的高阶无穷小：如果Δx是一个具体的数，那么o（Δx）就是一个具体的数；如果Δx趋向于零，那么o（Δx）比Δx“更快地”趋向于零。A是一个与x0有关而与Δx无关的量。
dy=f（x）dx就是把之前式子里Δx的高阶无穷小o（Δx）拿掉不考虑，但是这里舍弃的o（Δx）并不是等于零的，而且一个关于Δx的函数，比如当取Δx收敛到零的极限时就有limo（Δx）=0。所以你可以把dy=f（x）dx看作是Δy=AΔx+o（Δx）取某种极限后的结果。
形式上我们可以定义dy=f（x）dx为一个微分表达式，是一个相对抽象的结果。但其实质是由具体的差分形式Δy=y1-y0=F(x1)-F(x0)演化而来的。或者说dy是Δy在某种极限意义下的近似。
这里相等的只有一阶展开系数A与导数f(x)，注意把上面固定的x0看做x即可。

追问

请把把F(x1)-F(x0) 展开 让偶参观下吧

追答

看来你还有很多基本概念不清楚，这里的过程有点抽象，如果给定F的具体形式可以直观一些。
比如F(x)=x^2
F(x1)-F(x0)=(x1+x0)(x1-x0)=(x1+x0)Δx
这是一个残差项为零的一阶展开

Answer 2

微分是用线性函数在某点逼近原函数
导数把这个线性函数表达成自变量的函数

例子：y=kx
微分：在x=x_0的时候求一个线性函数逼近，是k*dx
导数：随着x的变化，用来逼近的线性函数不变，也就是导数是f(x) = k

例子：y=e^x
微分：在x=x_0的时候求一个线性函数逼近，是e^{x_0}*dx
导数：随着x_0的变化，用来逼近的线性函数也就是导数是f(x_0) = e^{x_0}

例子：z=f(x,y)
微分：在x=x_0, y=y_0的时候求一个线性函数逼近，是f_{x_0}*dx+f_{y_0}*dy , (f_x,f_y是偏导函数)
导数：....