Question

高中数学三角恒等变形

已知cos10°^2+cos50°^2-sin40°sin80°=3/4
由此可以推广得
1若α+β=60°
cosα^2+cosβ^2-cosαcosβ=3/4
2若α+β=120°
则cosα^2+cosβ^2+cosαcosβ=3/4

第二个推广结论看不明白，求高手解释一下

Answer 1

将 结论 cos²10°+cos²50°-sin40°sin80°=3/4
恒等变形为 cos²10°+cos²50°-cos50°cos10°=3/4
所以 推广1是明显的。
即 若α+β=60°， 则
cos²α+cos²β-cosαcosβ=3/4 （1）
在推广1的基础上，令α= -θ，β=180°-φ，其中 θ+φ=120°，则有 α+β=60°
于是（1）式可化为 cos²(-θ)+cos²(180°-φ)-cos(-θ)cos(180°-φ)=3/4
即 cos²θ+cos²φ+cosθcosφ=3/4
从而就得到了推广2.

Answer 2

cos120^2=cos60^2
cos120=-cos60
所以前面没变化，后面符号要变
这个结论不需要证明，只是作推广，所以少了点过程