Question

已知圆M的圆心M在Y轴上，半径为1.直线L：y=2x+2被圆M所截得弦长为（4√5）/5，且圆心M在直线L的下方。

设A(t,0), B(t+5,0) (-4≤t≤-1). 若AC、BC是圆M的切线，求△ABC 面积的最小值。

Answer 1

设圆心为(0,a)，直线与Y轴的交点为（0，2）
圆心M在直线L的下方,所以2>a
圆心到直线L：2x-y+2的距离为:
I-a+2I/√(4+1)=I-a+2I/√5
圆的半径为1，弦长为（4√5）/5
所以1=[（4√5）/10]²+[I-a+2I/√5]²
(2-a)²=1
所以a=1或者a=3
由于a<2
所以a=1
圆的方程为：x²+(y-1)²=1
圆与Y轴的交点为（0，0），（0，2）
-4≤t≤-1，1≤t+5≤4
而AC、BC是圆M的切线
所以2≤t+5
则-3≤t≤-1
AB=5
设AC、BC方程为：
AC：y=k1(x-t) ； BC：y=k2(x-t-5) ；
AC代入圆方程得：(1+k1^2)*x^2 - 2*k1*(k1*t+1)*x + (k1*t+1)^2 - 1 = 0
因为相切，△=0 ，解得：k1=2t/(1-t^2) (k1=0舍去)；
同理BC代入圆方程并由相切条件可得：k2=2(t+5)/[1-(t+5)^2]
由两直线方程求交点C坐标（求y坐标即可）：y=5k1k2/(k2-k1) ；
代入k1、k2即得：y = 2t(t+5)/(t^2+5t+1) = 2[ 1 - 1/ ( t^2+5t+1 ) ]
对 t^2+5t+1=(t+5/2)^2-21/4 研究可知，当t=-5/2时，y取最小值，且y=50/21；
因此，此时△ABC面积：(1/2)*AB*y=(1/2)*5*50/21=125/21，也是最小值。