Question

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PA⊥底面ABCD,且PA=AB，M、N分别是PA、BC的中点.

（1）求证MN//平面PCD；
（2）在棱PC上是否存在点E，使得AE⊥平面PBD？若存在，求出AE与平面PBC所成角的正弦值，若不存在，请说明理由。
图

Answer 1

①设AD的中点为K,连kM;kN 则KM∥PD;KN∥DC;从而KM∥平面PCD；KN∥平面PCD;
所以MN∥平面PCD；（也可以用向量法证）
②在棱PC上一定存在点E，使得AE⊥平面PBD
因为底面ABCD是正方形，所以BD⊥AC；
又因为PA⊥底面ABCD，所以BD⊥PA
所以BD⊥平面PAC； 所以平面PAC⊥平面PBD
设正方形ABCD的中心为O，连PO,则平面PAC⊥平面PBD=PO
过A点做AE⊥PO交PO于H，交PC于E；则AE⊥平面PBD