Question

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PA⊥底面ABCD,且PA=AB，M、N分别是PA、BC的中点！

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PA⊥底面ABCD,且PA=AB，M、N分别是PA、BC的中点！
（1）求证MN//平面PCD；
（2）在棱PC上是否存在点E，使得AE⊥平面PBD？若存在，求出AE与平面PBC所成角的正弦值，若不存在，请说明理由。

Answer 1

⑴ 设R是PD中点，则MR∥＝AC/2﹙中位线﹚∥＝NC   MRCN为平行四边形 MN∥RC

RC∈平面PCD    ∴MN∥平面PCD    

⑵ 把图形补成立方体ABCD-PB1C1D1,易知AC1⊥⊿PBD

﹙BD⊥PACC1.∴BD⊥AC1, PB⊥B1ADC1 ∴PB⊥AC1﹚

E＝AC1∩PC   即E是PC中点  AE⊥平面PBD.

AB1⊥PBC 设AB＝1,O是AB1中点，则AO＝√2/2     AE＝√3/2

sin∠AEO＝AO/AE＝√﹙2/3﹚

AE与平面PBC所成角的正弦值＝√﹙2/3﹚