Question

已知a1=-2，a2=-1，a(n+2)-5a(n+1)+6an=4-4n,求an、Sn

Answer 1

解：设bn=an+xn+y，使得b（n+2）-5b（n+1）+6bn=0，则
a（n+2）+x（n+2）+y-5a(n+1)-5x（n+1）-5y+
6an+6xn+6y=0
a（n+2）+
5a(n+1)
6an=-2xn+3x-2y，即
-2x=-4
3x-2y=4
x=2，y=1
所以bn=an+2n+1,
b1=a1+2+1=1，b2=a2+2*2+1=4
b（n+2）-5b（n+1）+6bn=0,即
b（n+2）-2b（n+1）=3[b（n+1）-2bn]
b（n+2）-3b（n+1）=2[b（n+1）-3bn]
令cn=
b（n+1）-2bn，cn’=
b（n+1）-2bn
则cn、cn’为等比数列，c1=b2-2b1=4-2=2，q=3、
c1’=b2-3b1=1,q’=2
cn=
b（n+1）-2bn=
c1q^(n-1)=2*3^(n-1)
cn’=
b（n+1）-3bn=
c1’q’^(n-1)=2^(n-1)
bn=cn-cn’=2*3^(n-1)-
2^(n-1),即
an+2n+1=2*3^(n-1)-
2^(n-1)
an=2*3^(n-1)-
2^(n-1)-2n-1
Sn=3^n-2^n-n^2-2n

Answer 2

解：
a(n+2)-5a(n+1)+6an=4-4n
[a(n+2)-2a(n+1)]-3[a(n+1)-2an]=4-4n
令bn=a(n+1)-2an
则上式化成
b(n+1)-3bn=4-4n
[b(n+1)-2(n+1)+1]-3(bn-2n+1)=0
令bn-2n+1=cn
则上式化成
c（n+1)-3cn=0
所以cn是等比数列
c1=2
所以cn=2*3^(n-1)
所以bn=2*3^(n-1)+2n+1
所以a（n+1）-2an=2*3^(n-1)+2n+1
[a(n+1)-2*3^n+2n+5]-2[an-2*3^(n-1)+2(n-1)+5]=0
令an-2*3^(n-1)+2(n-1)+5=kn
则k（n+1)-2kn=0
k1=1
所以kn=2^(n-1)
所以an=2^(n-1)+2*3^(n-1)-2(n-1)-5
终于求出an了，缓一口气。。。

Answer 3

a(n+2)-5a(n+1)+6an=[a(n+2)-2a(n+1)]-3[a(n+1)-2an)]=4n
令bn=a(n+1)-2an,b(n+1)=a(n+2)-2a(n+1),b1=a2-2a1=3
b(n+1)-3bn=4n,同除以3^(n+1)
b(n+1)/3^(n+1)-bn/3^n=4n/3^(n+1)
bn/3^n-b(n-1)/3^(n-1)=4(n-1)/3^n
......
b2/3^2-b1/3=4/3^2
叠加得bn/3^n,然后再算出an，最后得sn