Question

高数，求解答

Answer 1

若极限存在，设为A ，那么有A=根号(3+A)
A²-A-3=0 (A-1/2)²=13/4 A=[1+根号(13)]/2 (注意A>0)
下面证明xn单调有界
x(n+1)-x(n)=根号(3+x(n))-根号(3+x(n-1))=[x(n)-x(n-1)]/[根号(3+x(n))+根号(3+x(n-1))]
所以x(n+1)-x(n) 与x(n)-x(n-1) 同正
x1=根号(3） x2=根号(3+根号3)>x1 所以 x2-x1>0 所以对任意n,有x(n)-x(n-1)>0
即x(n)单增
下面证明x(n)<A 即可
x(1)=根号3<A=1+根号(13)]/2
x(n+1)-A=根号(3+x(n))-根号(3+A)=[x(n)-A)]/[根号(3+x(n))+根号(3+A)]
所以所有x(n)<A
x(n) 单调有界，极限存在