Question

什么是三角形的外心?

Answer 1

三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心．
三角形外接圆的圆心也就是三角形三边中垂线的交点,三角形的三个顶点就在这个外接圆上
设⊿ABC的外接圆为☉G(R)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．
　　性质1：（1）锐角三角形的外心在三角形内；

（2）直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合；

　　（3）钝角三角形的外心在三角形外.
　　性质2：∠BGC=2∠A，（或∠BGC=2(180°-∠A).
　　性质3：∠GAC+∠B=90°
　　证明：如图所示延长AG与圆交与P
　　∵A、C、B、P四点共圆
　　∴∠P=∠B
　　∵∠P+∠GAC=90°
　　∴∠GAC+∠B=90°
　　性质4：点G是平面ABC上一点，点P是平面ABC上任意一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件是：
　　（1）向量PG=(tanB+tanC)向量PA+(tanC+tanA)向量PB+(tanA+tanB)向量PC)/2(tanA+tanB+tanC).
　　或（2）向量PG=(cosA/2sinBsinC)向量PA+(cosB/2sinCsinA)向量PB+(cosC/2sinAsinB)向量PC.
　　性质5：三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.外心到三顶点的距离相等。
　　性质6：点G是平面ABC上一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件　(向量GA+向量GB)·向量AB= (向量GB+向量GC)·向量BC=(向量GC+向量GA)·向量CA=0.

Answer 2

三角形的外心就是这个外接圆的圆心.也就是三角形三边垂线的交点,三角形的三个顶点就在这个外接圆上.
它还有一个内心,同理内心也就是这个三角形内接圆的圆心.也是这个三角形三个角的角平分线的交点.
三角形三边中线的交点叫中心

Answer 3

定义　　三角形外接圆的圆心叫做
三角形的外心
．编辑本段三角形外心的性质　　设⊿abc的外接圆为☉g(r)，角a、b、c的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．　　1、三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心
.
　　2、锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合
.
　　3、ga=gb=gc=r
.
　　3、∠bgc=2∠a，或∠bgc=2(180°-∠a)
.
　　4、r=abc/4s⊿abc
.
　　5、点g是平面abc上一点，那么点g是⊿abc外心的充要条件是：　　(向量ga+向量gb)
·
向量ab=
(向量gb+向量gc)
·
向量bc=(向量gc+向量ga)
·
向量ca=向量0
.
　　6、点g是平面abc上一点，点p是平面abc上任意一点，那么点g是⊿abc外心的充要条件是：　　向量pg=((tanb+tanc)向量pa+(tanc+tana)向量pb+(tana+tanb)向量pc)/2(tana+tanb+tanc)
.
　　7、点g是平面abc上一点，点p是平面abc上任意一点，那么点g是⊿abc外心的充要条件是：　　向量pg=(cosa/2sinbsinc)向量pa+(cosb/2sincsina)向量pb+(cosc/2sinasinb)向量pc
.
　　8、设d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。　　重心坐标：(
(c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c
)。　　9、外心到三顶点的距离相等。　　10、2r=a/sina=b/sinb=c/sinc。

Answer 4

一 定理
重心定理：三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的
离是它到对边中点距离的2倍.该点叫做三角形的重心.
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点.该点叫做三角形的外心.
垂心定理：三角形的三条高交于一点.该点叫做三角形的垂心.
内心定理：三角形的三内角平分线交于一点.该点叫做三角形的内心.
旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.该点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.
三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心.它们都是三角形的重要相关点.

Answer 5

三角形外接圆的圆心。
外心到三角形三个顶点的距离相等，
外心是三角形三边中垂线的交点。