Question

证明:当0<x<π时,sinx/2>x/π

Answer 1

首先，x=0不是瑕点，再由于被积函数是奇函数，因此只需考虑（从1到无穷）sinx/xdx即可。
用dirichlet判别法知道积分（从1到无穷）sinx/xdx是收敛的。
其次，对于积分（从1到x）|sinx/x|dx，由于|sinx/x|>=sin^2x/x=(1--cos2x)/(2x)
=1/(2x)--cos2x/(2x)，还是用dirichlet判别法知道积分（从1到无穷）cos2x/(2x)dx收敛，
而积分（从1到无穷）1/(2x)dx发散，因此由比较判别法知道积分（从1到无穷）|sinx|/xdx发散。
综上，广义积分（从1到无穷）sinx/x条件收敛。

Answer 2

简单分析一下，答案如图所示