Question

求证2(a^3+b^3+c^3)大于等于a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)

Answer 1

求证：2(a^3+b^3+c^3)>a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)
左边展开：
(a^3+b^3)+(a^3+c^3)+(b^3+c^3)
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+(a+c)(a^2-ac+c^2)+(b+c)(b^2-bc+c^2)
右边展开：
(a^2)b+(a^2)c+(b^2)a+(b^2)c+(c^2)a+(c^2)b
=ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c)
左边减右边：
=(a+b)(a^2-ab+b^2-ab)+(a+c)(a^2-ac+c^2-ac)+(b+c)(b^2-bc+c^2-bc)
=(a+b)(a-b)^2+(a+c)(a-c)^2+(b+c)(b-c)^2
由于a、b、c不全相等，(a-b)、(a-c)、(b-c)不同时为0，所以左边-右边>0
即左边>右边，得证