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这个还是比较好证明的。
只要证明lni/(i+1)<(i-1)/2即可。
也就是证明lni<(i^2-1)/2在i>=2上成立。
证明：
设y=x^2-2lnx-1
在x>=2时，y'=2x-2/x=2(x^2-1)/x>0
所以y是个增函数，y>=y(2)=3-2ln2>0
所以x>=2时，y=x^2-2lnx-1>0
所以i>=2时，i^2-2lni-1>0，lni<(i^2-1)/2
即lni<i^2-1在i>=2上成立。
所以∑lni/(i+1)<∑(i-1)/2=n(n-1)/4
只要证明lni/(i+1)<(i-1)/2即可。
也就是证明lni<(i^2-1)/2在i>=2上成立。
证明：
设y=x^2-2lnx-1
在x>=2时，y'=2x-2/x=2(x^2-1)/x>0
所以y是个增函数，y>=y(2)=3-2ln2>0
所以x>=2时，y=x^2-2lnx-1>0
所以i>=2时，i^2-2lni-1>0，lni<(i^2-1)/2
即lni<i^2-1在i>=2上成立。
所以∑lni/(i+1)<∑(i-1)/2=n(n-1)/4
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