Question

已知三角形abc中角a、b、c所对边分别是a、b、c，设向量m=(a,b)，n=(sinb,sina)，p=(b-2,a-2)

(1)若A,B为锐角，且sina=5分之根号5，sinb=10分之根号10，求A+B的值
（2）若向量m平行向量n，求证三角形ABC为等腰三角形
（3）若向量m垂直向量p，边长c=2,角C=3分之π，求向量AC乘向量BC

Answer 1

(1)若A,B为锐角，且sinA=√5/5，sinB=√10/10，所以cosA=2√5/5;cosB=3√10/10
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB=√2/2;所以A+B是锐角，A+B=π/4
（2）若向量m平行向量n，则asinA-bsinB=0;可化为：a^2-b^2=0,所以a=b
那么三角形ABC为等腰三角形
（3）若向量m垂直向量p，则有：a(b-2)+b(a-2)=0;即ab=a+b
又c=2,C=π/3，所以由余弦定理知：c^2=a^2+b^2-2abcosC,即：4=(a+b)^2-3ab=(a+b)^2-3(a+b)
所以(a+b)^2-3(a+b)-4=0,a+b=ab=4;所以a=b=2此时a=b=c;三角形是正三角形；
向量AC与向量BC的数量积=bacosC=2

Answer 2

支持上上楼的答案